Jul. 31.

Orthodiagonales Viereck


In der euklidischen Geometrie ist ein orthodiagonales Viereck ein Viereck, in dem die Diagonalen sich rechtwinklig kreuzen. Mit anderen Worten: Es ist eine vierseitige ebene Figur, in der die Verbindungslinien zwischen den nicht benachbarten Ecken orthogonal zueinander sind.

Spezielle orthodiagonale Vierecke sind Drachenvierecke, insbesondere Rauten und Quadrate.

Ein Viereck ist genau dann orthodiagonal, wenn für die beiden Paare gegenüberliegender Seiten die Summen der Quadrate der Seitenlängen übereinstimmen. Bezeichnet man die Vierecksseiten, wie üblich, der Reihe nach mit





a




{\displaystyle a}


,





b




{\displaystyle b}


,





c




{\displaystyle c}


und





d




{\displaystyle d}


, so lautet diese Bedingung:

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks sind genau dann senkrecht zueinander, wenn die beiden Bimediane (die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte) gleich lang sind.

Nach einer anderen Charakterisierung sind die Diagonalen eines konvexen Vierecks ABCD genau dann senkrecht zueinander, wenn

gilt, wobei P der Schnittpunkt der Diagonalen ist. Aus dieser Gleichung folgt fast unmittelbar, dass die Diagonalen eines konvexen Vierecks sich genau dann senkrecht schneiden, wenn die Projektionen des Diagonalenschnittpunkts auf die Vierecksseiten die Ecken eines Sehnenvierecks sind.

Ein konvexes Viereck ist genau dann orthodiagonal, wenn sein Varignon-Parallelogram (dessen Ecken die Seitenmittelpunkte sind) ein Rechteck ist. Eine verwandte Charakterisierung besagt, dass ein konvexes Viereck genau dann orthodiagonal ist, wenn die Seitenmittelpunkte und die Fußpunkte der Lote von den Seitenmittelpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten konzyklisch sind, also auf einem Kreis liegen (Acht-Punkte-Kreis). Der Mittelpunkt dieses Kreises stimmt mit dem Schwerpunkt des Vierecks überein.

Mehrere Bedingungen für orthodiagonale Vierecke beziehen sich auf die Teildreiecke





A


B


P




{\displaystyle ABP}


,





B


C


P




{\displaystyle BCP}


,





C


D


P




{\displaystyle CDP}


und





D


A


P




{\displaystyle DAP}


, in die das Viereck durch seine Diagonalen unterteilt wird. Bezeichnet man mit






m



1






{\displaystyle m_{1}}


,






m



2






{\displaystyle m_{2}}


,






m



3






{\displaystyle m_{3}}


und






m



4






{\displaystyle m_{4}}


die Verbindungsstrecken des Diagonalenschnittpunkts





P




{\displaystyle P}


mit den Mittelpunkten der Seiten





[


A


B


]




{\displaystyle [AB]}






[


B


C


]




{\displaystyle [BC]}


,





[


C


D


]




{\displaystyle [CD]}


bzw.





[


D


A


]




{\displaystyle [DA]}


, mit






R



1






{\displaystyle R_{1}}


,






R



2






{\displaystyle R_{2}}


,






R



3






{\displaystyle R_{3}}


und






R



4






{\displaystyle R_{4}}


die Umkreisradien der genannten Teildreiecke und mit






h



1






{\displaystyle h_{1}}


,






h



2






{\displaystyle h_{2}}


,






h



3






{\displaystyle h_{3}}


und






h



4






{\displaystyle h_{4}}


die Lote von





P




{\displaystyle P}


auf die Vierecksseiten, so ist ein konvexes Viereck





A


B


C


D




{\displaystyle ABCD}


genau dann orthodiagonal, wenn eine der folgenden Aussagen gilt:

Für den Flächeninhalt eines orthodiagonalen Vierecks gilt

wobei





e




{\displaystyle e}


und




f




{\displaystyle f}


für die Längen der beiden Diagonalen stehen.


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