Nov. 03.

Dandelin-Gräffe-Verfahren


Das Dandelin-Gräffe-Verfahren, auch Gräffe-Verfahren, ist eine Methode der näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen (Wurzeln) eines Polynoms n-ten Grades und beruht darauf, durch iteratives Quadrieren der Wurzeln diese zu trennen, wobei das Quadrieren implizit ausgeführt wird durch Transformation des Ausgangspolynoms.

Es wurde unabhängig von Karl Heinrich Gräffe (1837), Germinal Pierre Dandelin (1826) und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1834) entwickelt. Es funktioniert am besten für Polynome mit reellen, einfachen Wurzeln, kann aber auch an allgemeinere Fälle angepasst werden. Später wurden verschiedene Varianten des klassischen Dandelin-Graeffe-Verfahrens entwickelt.

Da es keine Anfangsabschätzung der Lage der Wurzeln erfordert, kann es als Ausgangspunkt genauerer Methoden der Wurzelbestimmung dienen, die eine solche Anfangsabschätzung fordern.

Das Polynom n-ten Grades, dessen Wurzeln man bestimmen will, sei:

mit Wurzeln






x



1




,




x



2




,






,




x



n






{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\dots ,\,x_{n}}


. Dann ist

und

wobei






x



2









x



k




2




=


(


x







x



k




)


(


x


+



x



k




)




{\displaystyle x^{2}-x_{k}^{2}=(x-x_{k})(x+x_{k})}


benutzt wurde.

Schreibt man





y


=



x



2






{\displaystyle y=x^{2}}


, hat





q


(


y


)




{\displaystyle q(y)}


die Quadrate der Wurzeln der Ausgangsgleichung





p


(


x


)




{\displaystyle p(x)}


als Lösung football socks custom. Waren zwei Wurzeln von p(x) vorher durch einen Faktor





ρ





{\displaystyle \rho }


getrennt, sind sie es bei




q


(


y


)




{\displaystyle q(y)}


durch einen Faktor






ρ




2






{\displaystyle \rho ^{2}}


und für





ρ



>


1




{\displaystyle \rho >1}






y


=



x



2


n






{\displaystyle y=x^{2n}}


hat man mit den Vieta-Formeln:

Da nach Wurzeltrennung der führende Term






y



1






{\displaystyle y_{1}}


dominiert, kann man nähern:

und damit:

Für die Wurzeln der Ausgangsgleichung





p


(


x


)




{\displaystyle p(x)}


ergibt sich:

Eine nützliche Beziehung beim Übergang von

zu

ist die Beziehung zwischen den Koeffizienten:


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